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數列與級數

數列就是將一堆數字排成一列。在「等差數列」中，當後一項減去前一項的差是相等時，這個相等的差稱為「公差」。假設只有a, b, c三個數字的數列是等差數列，於是b 就是a與c的等差中項，即「算術平均數」。 「等比數列」是指，如果數列中任何一項與前項的比值相等時，那個相等的比值叫「公比」。此時若a, b, c 是等比數列，b 就是a與c的等比中項，稱「幾何平均數」。

將數列中的數字a₁+ a₂+…..+a_n依序相加的「和」就是級數。因此，當a₁+ a₂+…..+a_n 是等差數列時，a₁+ a₂+…..+a_n的級數稱「等差級數」或「算術級數」。同理，若它們是等比數列，則其級數稱「等比級數」或「幾何級數」。

棋盤上的級數

相傳古代一位大臣與國王下棋贏了，國王問大臣要什麼獎賞? 大臣對國王說：「我只要在棋盤上第1格放1粒米，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒…。按這個方法放滿整個棋盤就可以了。」國王以為這並非什麼大不了的事，隨口就答應了。

讓我們一起計算，國王到底要賞給他的大臣多少粒米吧! 第1格放1粒米(2⁰=1)、第2格放2粒米(2¹=2)、第3格放4粒米(2²=4)。如此類推，第64格應該放入2⁶³

從國王賞賜的故事可以看到等比級數的增值非常驚人。因為從第2項起，每一項與它的前項比值等同於一個常數。

按照一般的東北大米的重量來計算，每600粒米約重50克，那麼國王必須要給大臣大約15,372億噸大米。如果一個人每秒鐘能夠數2粒大米，他不眠不休地數約2,925億年才能夠數完。根據統計，2016年全世界人口已經超過73億，如果大家一起不眠不休地數米粒，大約要費時40年才數完。

冷知識

1. 國際象棋，又稱歐洲象棋或西洋棋，是一種二人對弈的戰略性棋盤遊戲。它最早出現於印度，直至15世紀末，現代國際象棋的規則才逐漸成形。國際棋聯在1924年成立，負責訂定國際象棋的比賽，也負責計算參賽選手的等級分，授予國際棋聯大師、國際大師、國際特級大師以及女子的國際象棋頭銜。
2. 銀行的複利是依每次累加的利息及本金去計算下一週期的利息，計算利息的利率愈高及週期愈短，獲利也將愈多。